Κεφ. 3 · §3.2

Ορισμός της παραγώγου

Η παράγωγος σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου μεταβολής όταν το βήμα τείνει στο μηδέν, και υπάρχει μόνο όταν το όριο αυτό είναι πραγματικός αριθμός.

11 λεπτά στο επίπεδό σουΣχολικό βιβλίο: Κεφάλαιο 2, ορισμός της παραγώγου (δείγμα)Στην ύλη 2026
Προαπαιτούμενα

Με μια ματιά

Η ff είναι στο x0x_0 όταν υπάρχει το όριο lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της ff στο x0x_0 και συμβολίζεται f′(x0)\deriv{f}(x_0).

Έστω ff ορισμένη σε διάστημα που περιέχει το x0x_0. Η ff λέγεται παραγωγίσιμη στο x0x_0 αν υπάρχει το όριο

lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

και είναι πραγματικός αριθμός. Την τιμή του τη γράφουμε f′(x0)\deriv{f}(x_0).

Το αποτέλεσμα, όπως εξετάζεται.

Ο λόγος f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} είναι η μέση κλίση της ff ανάμεσα στο x0x_0 και στο x0+hx_0 + h: η κλίση της χορδής. Όσο το hh μικραίνει, η χορδή πλησιάζει την εφαπτομένη και ο μέσος ρυθμός μεταβολής τον . Η παράγωγος είναι η κλίση της εφαπτομένης.

Γιατί ισχύει, χωρίς όρια.

Η ύπαρξη του ορίου εξαρτάται από τη συμπεριφορά του λόγου καθώς h→0h \to 0 και από τις δύο πλευρές. Το δεν υπολογίζεται με απλή αντικατάσταση, γιατί ο παρονομαστής τείνει στο μηδέν: πρέπει πρώτα να απλοποιήσουμε τον λόγο, όπως στο παράδειγμα.

Όριο πηλίκουΜάθε τη σωστά (9′)

Αν lim⁡x→x0f(x)=ℓ1\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell_1 και lim⁡x→x0g(x)=ℓ2≠0\lim_{x \to x_0} g(x) = \ell_2 \ne 0, τότε lim⁡x→x0f(x)g(x)=ℓ1ℓ2\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell_1}{\ell_2}. Το ίδιο ισχύει για το γινόμενο, χωρίς τον όρο για το μηδέν. Όταν ο παρονομαστής τείνει στο μηδέν, απλοποιούμε πριν πάρουμε το όριο.

Πώς προκύπτει, βήμα βήμα.

Η παράγωγος της x2x^2 από τον ορισμό

  1. Για f(x)=x2f(x) = x^2 ο λόγος μεταβολής στο x0x_0 είναι (x0+h)2−x02h\frac{(x_0+h)^2 - x_0^2}{h}.

  2. Σκέψου το επόμενο βήμα πριν το ανοίξεις.
Βήμα 1 από 3

Λυμένο παράδειγμα σε 3 βήματα.

Συμβολισμός
f′\deriv{f}
παράγωγος

Ασκήσεις 0 από 0