Κεφ. 3 · §3.1

Γιατί μας ενδιαφέρει η παράγωγος

Η παράγωγος μετρά πόσο γρήγορα αλλάζει ένα μέγεθος: ταχύτητα, κλίση, ρυθμός αύξησης. Είναι το εργαλείο για κάθε ερώτηση του τύπου «πόσο γρήγορα».

9 λεπτά στο επίπεδό σουΣχολικό βιβλίο: Κεφάλαιο 2, εισαγωγή (δείγμα)Στην ύλη 2026

Με μια ματιά

Ο ενός μεγέθους y=f(x)y = f(x) ως προς το xx είναι η παράγωγος f′(x)\deriv{f}(x). Θέση που αλλάζει με τον χρόνο δίνει ταχύτητα, καμπύλη δίνει κλίση, πληθυσμός δίνει ρυθμό αύξησης: το ίδιο αντικείμενο σε τρεις γλώσσες.

Αν το μέγεθος yy εξαρτάται από το xx μέσω της y=f(x)y = f(x), ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής του yy ως προς το xx στο x0x_0 είναι ο αριθμός f′(x0)\deriv{f}(x_0), όταν υπάρχει.

Το αποτέλεσμα, όπως εξετάζεται.

Ένα αυτοκίνητο που έχει διανύσει s(t)s(t) μέτρα μετά από tt δευτερόλεπτα έχει μέση ταχύτητα s(t2)−s(t1)t2−t1\frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} στο διάστημα. Το κοντέρ όμως δείχνει ταχύτητα σε μια στιγμή, και αυτό ακριβώς είναι το όριο του λόγου για t2→t1t_2 \to t_1.

Γιατί ισχύει, χωρίς όρια.

Οι τρεις ερμηνείες είναι μία: κάθε φορά σχηματίζουμε τον λόγο «μεταβολή εξόδου προς μεταβολή εισόδου» και παίρνουμε το όριο. Η γεωμετρία δίνει την κλίση της εφαπτομένης, η κινηματική τη στιγμιαία ταχύτητα, η οικονομία το οριακό κόστος. Ο υπολογισμός είναι ο ίδιος, για αυτό η παράγωγος μελετάται μία φορά.

Πώς προκύπτει, βήμα βήμα.

Ταχύτητα από τη θέση

  1. Έστω s(t)=5t2s(t) = 5t^2 η θέση σε μέτρα μετά από tt δευτερόλεπτα.

  2. Σκέψου το επόμενο βήμα πριν το ανοίξεις.
Βήμα 1 από 3

Λυμένο παράδειγμα σε 3 βήματα.

Συμβολισμός
f′\deriv{f}
παράγωγος

Ασκήσεις 0 από 0