Κεφ. 2 · §2.1

Όριο πηλίκου

Το όριο ενός πηλίκου είναι το πηλίκο των ορίων όταν ο παρονομαστής δεν τείνει στο μηδέν. Όταν τείνει, απλοποιούμε πρώτα.

9 λεπτά στο επίπεδό σουΣχολικό βιβλίο: Κεφάλαιο 1, όριο πηλίκου (δείγμα)Στην ύλη 2026

Με μια ματιά

Αν lim⁡x→x0f(x)=ℓ1\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell_1 και lim⁡x→x0g(x)=ℓ2≠0\lim_{x \to x_0} g(x) = \ell_2 \ne 0, τότε lim⁡x→x0f(x)g(x)=ℓ1ℓ2\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell_1}{\ell_2}. Το ίδιο ισχύει για το γινόμενο, χωρίς τον όρο για το μηδέν. Όταν ο παρονομαστής τείνει στο μηδέν, απλοποιούμε πριν πάρουμε το όριο.

Έστω lim⁡x→x0f(x)=ℓ1\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell_1 και lim⁡x→x0g(x)=ℓ2\lim_{x \to x_0} g(x) = \ell_2. Τότε lim⁡x→x0f(x) g(x)=ℓ1ℓ2\lim_{x \to x_0} f(x)\,g(x) = \ell_1 \ell_2, και αν ℓ2≠0\ell_2 \ne 0, lim⁡x→x0f(x)g(x)=ℓ1ℓ2\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell_1}{\ell_2}.

Το αποτέλεσμα, όπως εξετάζεται.

Κοντά στο x0x_0 η ff μοιάζει με τη σταθερά ℓ1\ell_1 και η gg με την ℓ2\ell_2. Το γινόμενο και το πηλίκο σταθερών είναι σταθερές. Αν ℓ2=0\ell_2 = 0 το πηλίκο δεν έχει νόημα ως σταθερά και ο κανόνας δεν λέει τίποτα: εκεί χρειάζεται δουλειά.

Γιατί ισχύει, χωρίς όρια.

Η μορφή 00\frac{0}{0} δεν είναι αριθμός. Είναι ένδειξη ότι αριθμητής και παρονομαστής έχουν κοινό παράγοντα που μηδενίζεται στο x0x_0. Παραγοντοποιούμε, απλοποιούμε τον κοινό παράγοντα (επιτρέπεται, γιατί x≠x0x \ne x_0 κοντά στο όριο) και εφαρμόζουμε τον κανόνα στο απλοποιημένο πηλίκο.

Πώς προκύπτει, βήμα βήμα.

Μορφή 0/00/0

  1. Ζητούμε το lim⁡x→1x2−1x−1\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}. Η αντικατάσταση δίνει 00\frac{0}{0}.

  2. Σκέψου το επόμενο βήμα πριν το ανοίξεις.
Βήμα 1 από 3

Λυμένο παράδειγμα σε 3 βήματα.

Ασκήσεις 0 από 0