Κεφ. 4 · §4.1

Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης

Πώς παραγωγίζουμε μια σύνθετη συνάρτηση: η παράγωγος της εξωτερικής στην εσωτερική, επί την παράγωγο της εσωτερικής.

19 λεπτά στο επίπεδό σουΣχολικό βιβλίο: Κεφάλαιο 2, παράγωγος σύνθετης συνάρτησης (δείγμα)Στην ύλη 2026Εξετάζεται με απόδειξη
Προαπαιτούμενα

Με μια ματιά

Αν h=f∘gh = \comp{f}{g}, τότε h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)\deriv{h}(x) = \deriv{f}(g(x)) \cdot \deriv{g}(x). Παραγωγίζουμε την εξωτερική συνάρτηση στη θέση της εσωτερικής και πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο της εσωτερικής. Ο είναι ο μόνος τρόπος να παραγωγίσουμε εκφράσεις όπως sin⁡(3x)\sin(3x) ή ex2e^{x^2}.

Έστω gg παραγωγίσιμη στο x0x_0 και ff παραγωγίσιμη στο g(x0)g(x_0). Τότε η h=f∘gh = \comp{f}{g} είναι στο x0x_0 και

h′(x0)=f′(g(x0))⋅g′(x0).\deriv{h}(x_0) = \deriv{f}(g(x_0)) \cdot \deriv{g}(x_0).

Σε μορφή τελεστή: ddx[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)\ddx{f(g(x))} = \deriv{f}(g(x)) \cdot \deriv{g}(x).

Το αποτέλεσμα, όπως εξετάζεται.

Η f(g(x))f(g(x)) περνά το xx από δύο μηχανές στη σειρά. Μια μικρή αλλαγή Δx\Delta x γίνεται περίπου g′(x) Δx\deriv{g}(x)\,\Delta x στην έξοδο της gg, και αυτή η αλλαγή μεγεθύνεται ξανά κατά f′(g(x))\deriv{f}(g(x)) στην έξοδο της ff. Οι δύο μεγεθύνσεις πολλαπλασιάζονται, για αυτό η παράγωγος είναι γινόμενο.

Γιατί ισχύει, χωρίς όρια.

Εξερεύνηση. Στη σκηνή: Η σύνθεση και η παράγωγός της. Άλλαξε τις τιμές και δες το σχήμα να ακολουθεί.

Για x≠x0x \ne x_0 κοντά στο x0x_0, με g(x)≠g(x0)g(x) \ne g(x_0), γράφουμε τον της hh ως γινόμενο δύο λόγων:

Ορισμός της παραγώγουΜάθε τη σωστά (11′)

Η ff είναι στο x0x_0 όταν υπάρχει το όριο lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της ff στο x0x_0 και συμβολίζεται f′(x0)\deriv{f}(x_0).

h(x)−h(x0)x−x0=f(g(x))−f(g(x0))g(x)−g(x0)⋅g(x)−g(x0)x−x0.\frac{h(x) - h(x_0)}{x - x_0} = \frac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{g(x) - g(x_0)} \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}.

Καθώς x→x0x \to x_0, το g(x)→g(x0)g(x) \to g(x_0) επειδή η gg είναι συνεχής στο x0x_0. Ο πρώτος λόγος τείνει στο f′(g(x0))\deriv{f}(g(x_0)). Ο δεύτερος είναι ο λόγος μεταβολής της gg, οπότε το υπάρχει και ισούται με g′(x0)\deriv{g}(x_0). Το όριο του γινομένου είναι το γινόμενο των ορίων. Η περίπτωση g(x)=g(x0)g(x) = g(x_0) κοντά στο x0x_0 χρειάζεται τη βοηθητική συνάρτηση της απόδειξης.

Όριο πηλίκουΜάθε τη σωστά (9′)

Αν lim⁡x→x0f(x)=ℓ1\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell_1 και lim⁡x→x0g(x)=ℓ2≠0\lim_{x \to x_0} g(x) = \ell_2 \ne 0, τότε lim⁡x→x0f(x)g(x)=ℓ1ℓ2\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell_1}{\ell_2}. Το ίδιο ισχύει για το γινόμενο, χωρίς τον όρο για το μηδέν. Όταν ο παρονομαστής τείνει στο μηδέν, απλοποιούμε πριν πάρουμε το όριο.

Πώς προκύπτει, βήμα βήμα.

Ορίζουμε κοντά στο y0=g(x0)y_0 = g(x_0) τη βοηθητική συνάρτηση

φ(y)={f(y)−f(y0)y−y0,y≠y0f′(y0),y=y0\varphi(y) = \begin{cases} \dfrac{f(y) - f(y_0)}{y - y_0}, & y \ne y_0 \\[4pt] \deriv{f}(y_0), & y = y_0 \end{cases}

Η φ\varphi είναι συνεχής στο y0y_0, γιατί το όριό της εκεί είναι εξ ορισμού η f′(y0)\deriv{f}(y_0). Για κάθε yy ισχύει f(y)−f(y0)=φ(y) (y−y0)f(y) - f(y_0) = \varphi(y)\,(y - y_0), και στα δύο σκέλη.

Θέτουμε y=g(x)y = g(x) και διαιρούμε με x−x0x - x_0:

h(x)−h(x0)x−x0=φ(g(x))⋅g(x)−g(x0)x−x0.\frac{h(x) - h(x_0)}{x - x_0} = \varphi(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}.

Καθώς x→x0x \to x_0: η gg είναι συνεχής στο x0x_0 ως παραγωγίσιμη, άρα φ(g(x))→φ(g(x0))=f′(g(x0))\varphi(g(x)) \to \varphi(g(x_0)) = \deriv{f}(g(x_0)), και ο δεύτερος παράγοντας τείνει στο g′(x0)\deriv{g}(x_0). Το όριο του γινομένου είναι f′(g(x0))⋅g′(x0)\deriv{f}(g(x_0)) \cdot \deriv{g}(x_0).

Η πλήρης απόδειξη.

Παράγωγος της sin⁡(3x)\sin(3x)

Η sin⁡(3x)\sin(3x) είναι σύνθεση: πρώτα το xx γίνεται 3x3x, μετά παίρνουμε ημίτονο.

  1. Εξωτερική f(u)=sin⁡uf(u) = \sin u, εσωτερική g(x)=3xg(x) = 3x.

  2. Σκέψου το επόμενο βήμα πριν το ανοίξεις.
Βήμα 1 από 3

Λυμένο παράδειγμα σε 3 βήματα.

Παράγωγος της ex2e^{x^2}

Το ίδιο σχήμα με εκθετική εξωτερική. Η άσκηση με τη φωλιασμένη σύνθεση εφαρμόζει τον κανόνα δύο φορές στη σειρά.

  1. Εξωτερική eue^u, εσωτερική u=x2u = x^2.

  2. Σκέψου το επόμενο βήμα πριν το ανοίξεις.
Βήμα 1 από 2

Λυμένο παράδειγμα σε 2 βήματα.

  • Ξεχνάμε την παράγωγο της εσωτερικής: γράφουμε cos⁡(3x)\cos(3x) αντί για 3cos⁡(3x)3\cos(3x).

    διάγνωση: forgot_inner_derivative

  • Εφαρμόζουμε μόνο τον κανόνα της δύναμης σε βάση που είναι σύνθετη συνάρτηση.

    διάγνωση: power_rule_only

  • Παραγωγίζουμε την εξωτερική ως προς xx αντί ως προς την εσωτερική ποσότητα.

    διάγνωση: outer_wrt_x

  • Ξεχνάμε ότι η εσωτερική μπορεί να είναι κι αυτή σύνθεση, όπως το sin⁡(ax)\sin(ax) μέσα στη δύναμη.

4 συνηθισμένα λάθη.

Συμβολισμός
f∘g\comp{f}{g}
σύνθεση συναρτήσεων
f′\deriv{f}
παράγωγος
ddx[f]\ddx{f}
παράγωγος ως προς x

Ασκήσεις 0 από 4

Παραλλαγή 1 από 21. Η απάντηση ελέγχεται με αριθμητική ισοδυναμία σε 10 σημεία, όχι με σύγκριση μορφής.

Να βρείτε την παράγωγο της f(x)=(sin⁡(2x))3f(x) = (\sin(2x))^3.

Η απάντησή σου, όπως την καταλαβαίνω, θα εμφανιστεί εδώ.