Κεφ. 3 · §3.3

Κανόνες παραγώγισης

Παράγωγοι των βασικών συναρτήσεων και οι κανόνες για άθροισμα, γινόμενο και πηλίκο, ώστε να μην χρειάζεται ο ορισμός κάθε φορά.

14 λεπτά στο επίπεδό σουΣχολικό βιβλίο: Κεφάλαιο 2, κανόνες παραγώγισης (δείγμα)Στην ύλη 2026
Προαπαιτούμενα

Με μια ματιά

Οι βασικές παράγωγοι: ddx[xn]=nxn−1\ddx{x^n} = n x^{n-1}, ddx[sin⁡x]=cos⁡x\ddx{\sin x} = \cos x, ddx[cos⁡x]=−sin⁡x\ddx{\cos x} = -\sin x, ddx[ex]=ex\ddx{e^x} = e^x, ddx[ln⁡x]=1x\ddx{\ln x} = \frac{1}{x}. Άθροισμα παραγωγίζεται όρο προς όρο, γινόμενο με τον κανόνα (fg)′=f′ g+f g′\deriv{(fg)} = \deriv{f}\,g + f\,\deriv{g}.

Αν οι ff και gg είναι παραγωγίσιμες στο xx, τότε οι f+gf + g, fgfg και, όταν g(x)≠0g(x) \ne 0, η fg\frac{f}{g} είναι παραγωγίσιμες στο xx, με

(f+g)′=f′+g′,(fg)′=f′ g+f g′,(fg)′=f′ g−f g′g2.\deriv{(f+g)} = \deriv{f} + \deriv{g}, \qquad \deriv{(fg)} = \deriv{f}\,g + f\,\deriv{g}, \qquad \deriv{\left(\frac{f}{g}\right)} = \frac{\deriv{f}\,g - f\,\deriv{g}}{g^2}.

Το αποτέλεσμα, όπως εξετάζεται.

Το γινόμενο fgfg είναι το εμβαδόν ορθογωνίου με πλευρές ff και gg. Όταν το xx αλλάζει λίγο, το εμβαδόν αλλάζει κατά δύο λωρίδες: μία με μήκος gg και πλάτος Δf\Delta f, μία με μήκος ff και πλάτος Δg\Delta g. Η μικρή γωνία Δf Δg\Delta f\,\Delta g εξαφανίζεται στο όριο.

Γιατί ισχύει, χωρίς όρια.

Για το γινόμενο προσθαφαιρούμε f(x0) g(x)f(x_0)\,g(x) στον αριθμητή του λόγου μεταβολής: f(x)g(x)−f(x0)g(x0)=(f(x)−f(x0)) g(x)+f(x0) (g(x)−g(x0))f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = (f(x) - f(x_0))\,g(x) + f(x_0)\,(g(x) - g(x_0)). Διαιρούμε με x−x0x - x_0 και παίρνουμε κάθε όρου: ο πρώτος τείνει στο f′(x0) g(x0)\deriv{f}(x_0)\,g(x_0), γιατί η gg είναι συνεχής, και ο δεύτερος στο f(x0) g′(x0)f(x_0)\,\deriv{g}(x_0).

Ορισμός της παραγώγουΜάθε τη σωστά (11′)

Η ff είναι παραγωγίσιμη στο x0x_0 όταν υπάρχει το όριο lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της ff στο x0x_0 και συμβολίζεται f′(x0)\deriv{f}(x_0).

Πώς προκύπτει, βήμα βήμα.

Παράγωγος της x2sin⁡xx^2 \sin x

  1. Θέτουμε f(x)=x2f(x) = x^2 και g(x)=sin⁡xg(x) = \sin x, με f′(x)=2x\deriv{f}(x) = 2x και g′(x)=cos⁡x\deriv{g}(x) = \cos x.

  2. Σκέψου το επόμενο βήμα πριν το ανοίξεις.
Βήμα 1 από 2

Λυμένο παράδειγμα σε 2 βήματα.

Συμβολισμός
ddx[f]\ddx{f}
παράγωγος ως προς x
f′\deriv{f}
παράγωγος

Ασκήσεις 0 από 0