Κεφ. 4 · §4.2

Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης

Η παράγωγος της αντίστροφης προκύπτει από τον κανόνα της αλυσίδας πάνω στην ταυτότητα f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = x, χωρίς να χρειάζεται ο ορισμός.

10 λεπτά στο επίπεδό σουΣχολικό βιβλίο: Κεφάλαιο 2, παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης (δείγμα)Στην ύλη 2026
Προαπαιτούμενα

Με μια ματιά

Αν η ff είναι αντιστρέψιμη και παραγωγίσιμη με f′(f−1(x))≠0\deriv{f}(f^{-1}(x)) \ne 0, τότε (f−1)′(x)=1f′(f−1(x))\deriv{(f^{-1})}(x) = \frac{1}{\deriv{f}(f^{-1}(x))}. Η κλίση της αντίστροφης είναι το αντίστροφο της κλίσης, στο αντίστοιχο σημείο.

Έστω ff αντιστρέψιμη, παραγωγίσιμη στο y0=f−1(x0)y_0 = f^{-1}(x_0) με f′(y0)≠0\deriv{f}(y_0) \ne 0, και f−1f^{-1} συνεχής στο x0x_0. Τότε η f−1f^{-1} είναι παραγωγίσιμη στο x0x_0 και (f−1)′(x0)=1f′(y0)\deriv{(f^{-1})}(x_0) = \frac{1}{\deriv{f}(y_0)}.

Το αποτέλεσμα, όπως εξετάζεται.

Το γράφημα της f−1f^{-1} είναι το γράφημα της ff ανακλασμένο στη διχοτόμο y=xy = x. Η ανάκλαση στέλνει μια εφαπτομένη με κλίση mm σε εφαπτομένη με κλίση 1m\frac{1}{m}, εκτός αν m=0m = 0, οπότε η νέα εφαπτομένη είναι κατακόρυφη.

Γιατί ισχύει, χωρίς όρια.

Παραγωγίζουμε την ταυτότητα f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = x με τον , αφού το αριστερό μέλος είναι : f′(f−1(x))⋅(f−1)′(x)=1\deriv{f}(f^{-1}(x)) \cdot \deriv{(f^{-1})}(x) = 1. Λύνουμε ως προς (f−1)′(x)\deriv{(f^{-1})}(x), το οποίο επιτρέπεται επειδή ο άλλος παράγοντας δεν μηδενίζεται.

Παράγωγος σύνθετης συνάρτησηςΜάθε τη σωστά (19′)

Αν h=f∘gh = \comp{f}{g}, τότε h′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)\deriv{h}(x) = \deriv{f}(g(x)) \cdot \deriv{g}(x). Παραγωγίζουμε την εξωτερική συνάρτηση στη θέση της εσωτερικής και πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο της εσωτερικής. Ο κανόνας της αλυσίδας είναι ο μόνος τρόπος να παραγωγίσουμε εκφράσεις όπως sin⁡(3x)\sin(3x) ή ex2e^{x^2}.

Σύνθεση συναρτήσεωνΜάθε τη σωστά (14′)

Αν g:A→Rg: A \to \mathbb{R} και f:B→Rf: B \to \mathbb{R} με g(A)⊆Bg(A) \subseteq B, η σύνθεση f∘g\comp{f}{g} είναι η συνάρτηση x↦f(g(x))x \mapsto f(g(x)). Πρώτα ενεργεί η gg, μετά η ff.

Πώς προκύπτει, βήμα βήμα.

Παράγωγος του ln⁡x\ln x από την exe^x

  1. Η ln⁡\ln είναι η αντίστροφη της exe^x, και ddx[ex]=ex\ddx{e^x} = e^x.

  2. Σκέψου το επόμενο βήμα πριν το ανοίξεις.
Βήμα 1 από 2

Λυμένο παράδειγμα σε 2 βήματα.

Συμβολισμός
f′\deriv{f}
παράγωγος
ddx[f]\ddx{f}
παράγωγος ως προς x

Ασκήσεις 0 από 0